Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

Étape 1

Écrivez $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{15} x^{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $- 6$ et $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.5

Associez $\frac{- 6}{15}$ et $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $15$ .

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Étape 2.1.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 (4 x^{3})$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- \frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.6

Associez $\frac{- 10}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $5$ .

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Étape 2.1.2.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.7.2.4

Divisez $- 2 x^{4}$ par $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{4} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 2 x^{4} + 24 (3 x^{2})$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 {(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 2 u^{2} + 72 u = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $2 u$ à partir de $- 2 u^{2} + 72 u$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $2 u$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 72 u = 0$

Étape 2.2.2.3.2

Factorisez $2 u$ à partir de $72 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (36) = 0$

Étape 2.2.2.3.3

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (- u) + 2 u (36)$ .

$2 u (- u + 36) = 0$

Étape 2.2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 36 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $- x^{2} + 36$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $- x^{2} + 36$ égal à $0$ .

$- x^{2} + 36 = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez $- x^{2} + 36 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Soustrayez $36$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 36$

Étape 2.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 36$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 36$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 36}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 36}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.2.2.3.1

Divisez $- 36$ par $- 1$ .

$x^{2} = 36$

Étape 2.2.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{36}$

Étape 2.2.5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{36}$ .

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Étape 2.2.5.2.4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Étape 2.2.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 6$

Étape 2.2.5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 6$

Étape 2.2.5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 6$

Étape 2.2.5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 6, - 6$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, - 6$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f'' (- 8) = - 2 {(- 8)}^{4} + 72 {(- 8)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(- 8)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $4096$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 {(- 8)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $72$ par $64$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 4608$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 8192$ et $4608$ .

$f'' (- 8) = - 3584$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 3584$ .

$- 3584$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - 6)$ car $f'' (- 8)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 6)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 6, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{4} + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $81$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $72$ par $9$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 648$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 162$ et $648$ .

$f'' (- 3) = 486$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $486$ .

$486$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- 6, 0)$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- 6, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 6)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{4} + 72 {(3)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f'' (3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(3)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $81$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 {(3)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $72$ par $9$ .

$f'' (3) = - 162 + 648$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 162$ et $648$ .

$f'' (3) = 486$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $486$ .

$486$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, 6)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $4096$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 {(8)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $72$ par $64$ .

$f'' (8) = - 8192 + 4608$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 8192$ et $4608$ .

$f'' (8) = - 3584$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 3584$ .

$- 3584$

Étape 8.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(6, \infty)$ car $f'' (8)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - 6)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- 6, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(0, 6)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(6, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 10