Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

Étape 1

Écrivez $- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ comme une fonction.

$f (x) = - \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{3}{5} x^{5} + 7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x^{5}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $- \frac{3}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{3}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{3}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.5

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{- 15}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.6

Associez $\frac{- 15}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $5$ .

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Étape 2.1.1.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x^{4}$ par $1$ .

$- 3 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 x^{4} + 7 (4 x^{3})$

Étape 2.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$f' (x) = - 3 x^{4} + 28 x^{3}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{4} + 28 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{3}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 x^{3} + 28 (3 x^{2})$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $28$ .

$f'' (x) = - 12 x^{3} + 84 x^{2}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 12 x^{3} + 84 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{3} + 84 x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} x + 84 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $84 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot - 7 = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $- 12 x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2} (x) - 12 x^{2} (- 7)$ .

$- 12 x^{2} (x - 7) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.2.5

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.2.5.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 x^{2} (x - 7) = 0$ vraie.

$x = 0, 7$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = - 12 {(- 2)}^{3} + 84 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = - 12 \cdot - 8 + 84 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $- 8$ .

$f'' (- 2) = 96 + 84 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 96 + 84 \cdot 4$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $84$ par $4$ .

$f'' (- 2) = 96 + 336$

Étape 5.2.2

Additionnez $96$ et $336$ .

$f'' (- 2) = 432$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $432$ .

$432$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, 0)$ car $f'' (- 2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 7)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f'' (4) = - 12 {(4)}^{3} + 84 {(4)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f'' (4) = - 12 \cdot 64 + 84 {(4)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $64$ .

$f'' (4) = - 768 + 84 {(4)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f'' (4) = - 768 + 84 \cdot 16$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $84$ par $16$ .

$f'' (4) = - 768 + 1344$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 768$ et $1344$ .

$f'' (4) = 576$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $576$ .

$576$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, 7)$ car $f'' (4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, 7)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f'' (10) = - 12 {(10)}^{3} + 84 {(10)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$f'' (10) = - 12 \cdot 1000 + 84 {(10)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $1000$ .

$f'' (10) = - 12000 + 84 {(10)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$f'' (10) = - 12000 + 84 \cdot 100$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $84$ par $100$ .

$f'' (10) = - 12000 + 8400$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 12000$ et $8400$ .

$f'' (10) = - 3600$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 3600$ .

$- 3600$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(7, \infty)$ car $f'' (10)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(7, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, 0)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le haut sur $(0, 7)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(7, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 9