Calcul infinitésimal Exemples

$\int 4 x e^{2 x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = 4 x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$4 x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$4 x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.2

Associez $4$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$x \frac{4 e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.3

Associez $x$ et $\frac{4 e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{x (4 e^{2 x})}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $x (4 e^{2 x})$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 (1)} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x (2 e^{2 x}))}{2 \cdot 1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (2 e^{2 x})}{1} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 2.4.2.4

Divisez $x (2 e^{2 x})$ par $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 4 d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2} \cdot 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2} \cdot 4$ en dehors de l’intégrale.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot 4 \int e^{2 x} d x)$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{4}{2} \int e^{2 x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{2 x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{2 x} d x)$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{2 x} d x)$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x (2 e^{2 x}) - (\frac{2}{1} \int e^{2 x} d x)$

Étape 4.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - (2 \int e^{2 x} d x)$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{2 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{2 x}) - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$x (2 e^{2 x}) - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x (2 e^{2 x}) + \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Étape 8.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$x (2 e^{2 x}) - \int e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$

Étape 10

Réécrivez $x (2 e^{2 x}) - (e^{u} + C)$ comme $2 x e^{2 x} - e^{u} + C$ .

$2 x e^{2 x} - e^{u} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$