Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2}) = \frac{d}{d y} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$6 x x' - 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = y$ .

$6 x x' - 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x x' - 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$6 x x' - 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [5 y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [5 y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $y$ est $5 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + 5 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + 5 (2 y)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$6 x x' - 2 (x + y x') + 10 y$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 x x' - 2 x - 2 (y x') + 10 y$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 x x' - 2 x - 2 y x' + 10 y$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x x' - 2 y x' - 2 x + 10 y$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x x' - 2 y x' - 2 x + 10 y = 0$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x x' - 2 y x' + 10 y = 2 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $10 y$ des deux côtés de l’équation.

$6 x x' - 2 y x' = 2 x - 10 y$

Étape 5.2

Factorisez $2 x'$ à partir de $6 x x' - 2 y x'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x'$ à partir de $6 x x'$ .

$2 x' (3 x) - 2 y x' = 2 x - 10 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 x'$ à partir de $- 2 y x'$ .

$2 x' (3 x) + 2 x' (- y) = 2 x - 10 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 x'$ à partir de $2 x' (3 x) + 2 x' (- y)$ .

$2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$ par $2 (3 x - y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x' (3 x - y) = 2 x - 10 y$ par $2 (3 x - y)$ .

$\frac{2 x' (3 x - y)}{2 (3 x - y)} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x' (3 x - y)}{2 (3 x - y)} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (3 x - y)}{3 x - y} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3 x - y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (3 x - y)}{3 x - y} = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 x}{2 (3 x - y)} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{- 10 y}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 y$ .

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{2 (- 5 y)}{2 (3 x - y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{x}{3 x - y} + \frac{- 5 y}{3 x - y}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{x}{3 x - y} - \frac{5 y}{3 x - y}$

Étape 5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x' = \frac{x - 5 y}{3 x - y}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x - 5 y}{3 x - y}$