Calcul infinitésimal Exemples

$y = x y^{2} + 4 x - y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y^{2} + 4 x - y)$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + 4 x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + 4 - y'$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = y^{2} + 2 x y y' + 4 - y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' = y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $y'$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - y' - y' = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $y'$ de $- y'$ .

$y^{2} + 2 x y y' + 4 - 2 y' = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' + 4 - 2 y' = - y^{2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' - 2 y' = - y^{2} - 4$

Étape 5.4

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y y' - 2 y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$2 y' (x y) - 2 y' = - y^{2} - 4$

Étape 5.4.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y'$ .

$2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1 = - y^{2} - 4$

Étape 5.4.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (x y) + 2 y' \cdot - 1$ .

$2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ par $2 (x y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (x y - 1) = - y^{2} - 4$ par $2 (x y - 1)$ .

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (x y - 1)}{2 (x y - 1)} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x y - 1$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} + \frac{- 2}{x y - 1}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1}$

Étape 5.5.3.2

Pour écrire $- \frac{2}{x y - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2}{x y - 1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.5.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x y - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{x y - 1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{(x y - 1) \cdot 2}$

Étape 5.5.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x y - 1) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{2 (x y - 1)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 \cdot 2}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.7

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2}) - 1 (4)}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2}) - 1 (4)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.9.1

Réécrivez $- (y^{2} + 4)$ comme $- 1 (y^{2} + 4)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} + 4)}{2 (x y - 1)}$

Étape 5.5.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} + 4}{2 (x y - 1)}$