Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{4 π}{3}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (\frac{4 π x}{3})]$

Étape 1.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (\frac{4 π x}{3})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 π x}{3})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{4 π x}{3}$ .

$4 (\cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 π x}{3}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $\frac{4 π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 π x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (\frac{4 π x}{3}) (\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 1.3.2.1

Associez $\frac{4 π}{3}$ et $4$ .

$\frac{4 π \cdot 4}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 π}{3} \cos (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.3

Associez $\frac{16 π}{3}$ et $\cos (\frac{4 π x}{3})$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ par $1$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{16 π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{16 π}{3} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{4 π x}{3})]$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{4 π x}{3}))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{4 π x}{3}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{4 π x}{3}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{4 π x}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{16 π}{3} \cdot (- \sin (\frac{4 π x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{16 π}{3}$ et $\sin (\frac{4 π x}{3})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{4 π x}{3}$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{4 π}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 π x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3} \cdot (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Associez les fractions.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{16 π \sin (\frac{4 π x}{3})}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 π (16 π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π (π \sin (\frac{4 π x}{3}))}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.5

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 (π π) \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{64 π^{1 + 1} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{3 \cdot 3} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot \frac{d}{d x} x$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9} \cdot 1$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π x}{3})}{9}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{3} = 0$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ par $16 π$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $16 π \cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$ par $16 π$ .

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 π \cos (\frac{4 π x}{3})}{16 π} = \frac{0}{16 π}$

Étape 5.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π \cos (\frac{4 π x}{3})}{π} = \frac{0}{16 π}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $\cos (\frac{4 π x}{3})$ par $1$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{16 π}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $16$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Factorisez $16$ à partir de $0$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 π}$

Étape 5.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.1.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16 π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 (0)}{16 (π)}$

Étape 5.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{16 \cdot 0}{16 π}$

Étape 5.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = \frac{0}{π}$

Étape 5.1.3.2

Divisez $0$ par $π$ .

$\cos (\frac{4 π x}{3}) = 0$

Étape 5.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{4 π x}{3} = \arccos (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$

Étape 5.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.1.1

Simplifiez $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

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Étape 5.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4 π$ .

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Étape 5.5.1.1.2.1

Factorisez $4 π$ à partir de $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.5.2.1.1.1

Factorisez $π$ à partir de $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 5.5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.5.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{3}{8}$

Étape 5.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{4 π x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.7

Résolvez $x$ .

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Étape 5.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{4 π}$ .

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3}$ .

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Étape 5.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π x}{3} = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4 π$ .

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Étape 5.7.2.1.1.2.1

Factorisez $4 π$ à partir de $4 π x$ .

$\frac{1}{4 π} (4 π (x)) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 π} (4 π x) = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4 π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 5.7.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 5.7.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{4 π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.7.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3}{4 π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.7.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.7.2.2.1.4.1.1

Factorisez $π$ à partir de $4 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{3 π}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.4.1.2

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.4.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{π \cdot 4} \cdot \frac{π \cdot 3}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 5.7.2.2.1.4.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Étape 5.7.2.2.1.4.3

Multipliez.

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Étape 5.7.2.2.1.4.3.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9}{4 \cdot 2}$

Étape 5.7.2.2.1.4.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{9}{8}$

Étape 5.8

La solution de l’équation est $\frac{4 π x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3}{8}, \frac{9}{8}$

Étape 6

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{3}{8})}{3})}{9}$

Étape 7

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Associez $\frac{3}{8}$ et $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Étape 7.1.2

Associez $\frac{3 \cdot 4}{8}$ et $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{12 π}{8}}{3})}{9}$

Étape 7.2.2

Réduisez l’expression $\frac{12 π}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{8}}{3})}{9}$

Étape 7.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Étape 7.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (3 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Étape 7.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{9}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{9}$

Étape 7.3.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot 1}{9}$

Étape 7.3.4

Multipliez $64$ par $1$ .

$- \frac{64 π^{2}}{9}$

Étape 8

$x = \frac{3}{8}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3}{8}$ est un maximum local

Étape 9

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3}{8}$ .

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{3}{8}))$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 π$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{8})$

Étape 9.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{3}{4 (2)})$

Étape 9.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 2})$

Étape 9.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{2})$

Étape 9.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{1}{2})$

Étape 9.2.3

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 9.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4 \cdot 1$

Étape 9.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (\frac{3}{8}) = 4$

Étape 9.2.6

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{9}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{4 π (\frac{9}{8})}{3})}{9}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.1

Associez $\frac{9}{8}$ et $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4}{8} π}{3})}{9}$

Étape 11.1.2

Associez $\frac{9 \cdot 4}{8}$ et $π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 \cdot 4 π}{8}}{3})}{9}$

Étape 11.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.2.1

Multipliez $9$ par $4$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{36 π}{8}}{3})}{9}$

Étape 11.2.2

Réduisez l’expression $\frac{36 π}{8}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $36 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{8}}{3})}{9}$

Étape 11.2.2.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 (2)}}{3})}{9}$

Étape 11.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{4 (9 π)}{4 \cdot 2}}{3})}{9}$

Étape 11.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{9}$

Étape 11.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 π$ .

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{9}$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{64 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{9}$

Étape 11.3.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{64 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{9}$

Étape 11.3.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \frac{64 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Étape 11.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{64 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Étape 11.3.6

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$- \frac{- 64 π^{2}}{9}$

Étape 11.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{64 π^{2}}{9}$

Étape 11.5

Multipliez $- - \frac{64 π^{2}}{9}$ .

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Étape 11.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{64 π^{2}}{9}$

Étape 11.5.2

Multipliez $\frac{64 π^{2}}{9}$ par $1$ .

$\frac{64 π^{2}}{9}$

Étape 12

$x = \frac{9}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{9}{8}$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{9}{8}$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot (\frac{9}{8}))$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{8})$

Étape 13.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 (π)}{3} \cdot \frac{9}{4 (2)})$

Étape 13.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{9}{4 \cdot 2})$

Étape 13.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{9}{2})$

Étape 13.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (3)}{2})$

Étape 13.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{2})$

Étape 13.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (π \cdot \frac{3}{2})$

Étape 13.2.3

Associez $π$ et $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Étape 13.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Étape 13.2.5

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 13.2.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 13.2.7

Multipliez $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{9}{8}) = 4 \cdot - 1$

Étape 13.2.7.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{9}{8}) = - 4$

Étape 13.2.8

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 14

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 \sin (\frac{4 π}{3} x)$ .

$(\frac{3}{8}, 4)$ est un maximum local

$(\frac{9}{8}, - 4)$ est un minimum local

Étape 15