Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 \sqrt[3]{- 9 x - 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- 9 x - 1}$ comme ${(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = 5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = - 9 x - 1$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 x - 1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\frac{1}{3} {(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{{(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.7.3

Placez ${(- 9 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1])$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $5$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 9 x - 1]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 9 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.11

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (- 9 + 0)$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Additionnez $- 9$ et $0$ .

$\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 9$

Étape 4.13.2

Associez $\frac{5}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $- 9$ .

$\frac{5 \cdot - 9}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.13.3

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$\frac{- 45}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.13.4

Factorisez $3$ à partir de $- 45$ .

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 15}{3 ({(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 15}{3 {(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{{(- 9 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$