Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x} (x - 4)$

Étape 1

Écrivez $\sqrt[3]{x} (x - 4)$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} (x - 4) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x - 4$ et $d v = \sqrt[3]{x}$ .

$(x - 4) (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} d x$

Étape 5.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $x^{\frac{4}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \int \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} d x$

Étape 6

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - (\frac{3}{4} \int x^{\frac{4}{3}} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez $(x - 4) \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C)$ comme $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}) + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{3}{7}$ et $x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Étape 8.2.2

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 3}{7 \cdot 4} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7 \cdot 4} + C$

Étape 8.2.4

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} - 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8.2.5

Pour écrire $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8.2.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $28$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.2.6.1

Multipliez $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{4}$ par $\frac{7}{7}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{4 \cdot 7} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8.2.6.2

Multipliez $4$ par $7$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7}{28} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}} \cdot 7 - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8.2.8

Multipliez $7$ par $3$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{21 x^{\frac{7}{3}} - 9 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8.2.9

Soustrayez $9 x^{\frac{7}{3}}$ de $21 x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{12 x^{\frac{7}{3}}}{28} + C$

Étape 8.2.10

Factorisez $4$ à partir de $12 x^{\frac{7}{3}}$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{28} + C$

Étape 8.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.11.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 (7)} + C$

Étape 8.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 (3 x^{\frac{7}{3}})}{4 \cdot 7} + C$

Étape 8.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7} + C$

Étape 8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sqrt[3]{x} (x - 4)$ .

$F (x) =$ $- 3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C$