Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} d x$

Étape 1

Divisez $x^{2} - 1$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					-	$x$	-	$1$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	-	$1$
					+	$x$	+	$1$
								$0$

Étape 1.11

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$\int_{1}^{2} x - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - x]_{1}^{2}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ et $- x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{1}^{2}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.3.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 - 1 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.5

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1)$

Étape 5.2.2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 5.2.2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Étape 5.2.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2.12

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - \frac{1 - 2}{2}$

Étape 5.2.2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 - \frac{- 1}{2}$

Étape 5.2.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 5.2.2.15

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.16

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$

Étape 7