Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x^{2} + 3$ . Alors $d u = 4 x d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x^{2} + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$4 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Étape 5

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Étape 5.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2

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Étape 9.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$\frac{2}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} {(2 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}} + C$