Calcul infinitésimal Exemples

x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Étape 1

Écrivez

$x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Étape 2

La fonction

$F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée

$f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{x^{2} + 9} d x$

Étape 4

Laissez

$x = 3 \tan (t)$ , où

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis

$d x = 3 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

$3 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez

$\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2} + 9}$ .

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à

$3 \tan (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{3^{2} \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.1.2

Élevez

$3$ à la puissance

$2$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.2

Factorisez

$9$ à partir de

$9 \tan^{2} (t) + 9$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez

$9$ à partir de

$9 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.2.2

Factorisez

$9$ à partir de

$9$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.2.3

Factorisez

$9$ à partir de

$9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{9 \sec^{2} (t)} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.4

Réécrivez

$9 \sec^{2} (t)$ comme

${(3 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(3 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}} (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int {(3 \tan (t))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3 \tan (t)$ .

$\int {(3 (\tan (t)))}^{3} (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de produit à

$3 (\tan (t))$ .

$\int 3^{3} \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.2.3

Élevez

$3$ à la puissance

$3$ .

$\int 27 \tan^{3} (t) (3 \sec (t)) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.2.4

Multipliez

$3$ par

$27$ .

$\int 81 \tan^{3} (t) \sec (t) (3 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 5.2.5

Multipliez

$3$ par

$81$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 5.2.6

Multipliez

$\sec (t)$ par

$\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.6.1

Déplacez

$\sec^{2} (t)$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Étape 5.2.6.2

Multipliez

$\sec^{2} (t)$ par

$\sec (t)$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Élevez

$\sec (t)$ à la puissance

$1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Étape 5.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 243 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Étape 5.2.6.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$\int 243 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 6

Comme

$243$ est constant par rapport à

$t$ , placez

$243$ en dehors de l’intégrale.

$243 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 7

Factorisez

$\tan^{2} (t)$ .

$243 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire

$\tan^{2} (t)$ comme

$- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$243 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 9

Laissez

$u = \sec (t)$ . Alors

$d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc

$\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec

$u$ et

$d$

$u$ .

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Étape 9.1

Laissez

$u = \sec (t)$ . Déterminez

$\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez

$\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 9.1.2

La dérivée de

$\sec (t)$ par rapport à

$t$ est

$\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant

$u$ et

$d u$ .

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 10

Multipliez

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez

$- 1 u^{2}$ comme

$- u^{2}$ .

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 11.2

Multipliez

$u^{2}$ par

$u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 11.2.2

Additionnez

$2$ et

$2$ .

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 13

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$u$ , placez

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$u^{2}$ par rapport à

$u$ est

$\frac{1}{3} u^{3}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de

$u^{4}$ par rapport à

$u$ est

$\frac{1}{5} u^{5}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez

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Étape 16.1.1

Associez

$\frac{1}{3}$ et

$u^{3}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 16.1.2

Associez

$\frac{1}{5}$ et

$u^{5}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Étape 16.2

Simplifiez

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$\sec (t)$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de

$t$ par

$\arctan (\frac{x}{3})$ .

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{3}))) + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction

$f (x) = x^{3} \sqrt{x^{2} + 9}$ .

$F (x) =$

$243 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{3} x))) + C$