Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2}$

Étape 1

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $p$ égale à $1$ .

$\sum_{p = 2}^{8} - 9 p + p^{2} = \sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} - \sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2}$ .

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Étape 2.1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{p = 1}^{8} - 9 p + p^{2} = - 9 \sum_{p = 1}^{8} p + \sum_{p = 1}^{8} p^{2}$

Étape 2.2

Évaluez $9 \sum_{p = 1}^{8} p$ .

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Étape 2.2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 9) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Additionnez $8$ et $1$ .

$- 9 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $8$ par $9$ .

$- 9 (\frac{72}{2})$

Étape 2.2.3.3

Divisez $72$ par $2$ .

$- 9 \cdot 36$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $- 9$ par $36$ .

$- 324$

Étape 2.3

Évaluez $\sum_{p = 1}^{8} p^{2}$ .

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Étape 2.3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $6$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Étape 2.3.3.2.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Étape 2.3.3.2.4

Additionnez $16$ et $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.3.3.1

Multipliez $36$ par $17$ .

$\frac{612}{3}$

Étape 2.3.3.3.2

Divisez $612$ par $3$ .

$204$

Étape 2.4

Additionnez les résultats des additions.

$- 324 + 204$

Étape 2.5

Additionnez $- 324$ et $204$ .

$- 120$

Étape 3

Évaluez $\sum_{p = 1}^{1} - 9 p + p^{2}$ .

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Étape 3.1

Développez la série pour chaque valeur de $p$ .

$- 9 \cdot 1 + 1^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9 + 1^{2}$

Étape 3.2.2

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$- 9 + 1$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$- 8$

Étape 4

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- 120 + 8$

Étape 5

Additionnez $- 120$ et $8$ .

$- 112$