Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \cos (x + 2) - x^{2}}{4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 \cos (x + 2) - x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} 4 \cos (x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 2} \cos (x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 \cos (lim_{x \to - 2} x + 2) - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.7

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{4 \cos (- 2 + 2) - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{4 \cos (- 2 + 2) - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{4 \cos (0) - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.8.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.8.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 - {(- 2)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.8.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.8.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to - 2} e^{- 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 1.3.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{4 e^{lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{4 e^{- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{4 e^{- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 1.3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x} - lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Étape 1.3.7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x} - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2} - {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Étape 1.3.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2} - {(- 2)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.9.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{0}{4 e^{- 4 + 4} - {(- 2)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{4 e^{0} - {(- 2)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 - {(- 2)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{0}{4 - {(- 2)}^{2}}$

Étape 1.3.9.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.3.9.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.9.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \cos (x + 2) - x^{2}}{4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2) - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2) - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \cos (x + 2) - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \cos (x + 2)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (x + 2)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (x + 2)]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 \frac{d}{d x} [\cos (x + 2)] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{4 (- \sin (x + 2)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 4 \sin (x + 2) - 2 x}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 e^{- 4 - 2 x} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{- 4 - 2 x}]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{- 4 - 2 x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 - 2 x}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 4 - 2 x$ .

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Étape 3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 4 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.8

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (e^{- 4 - 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.9

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 4 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{4 (- 2 e^{- 4 - 2 x}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.7.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - (2 x)}$

Étape 3.8.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 8 e^{- 4 - 2 x} - 2 x}$

Étape 3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 2} \frac{- 2 x - 4 \sin (x + 2)}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $- 2 x - 4 \sin (x + 2)$ et $- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x) - 4 \sin (x + 2)}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sin (x + 2)$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x) + 2 (- 2 \sin (x + 2))}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 2 \sin (x + 2))$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{- 2 x - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x) - 8 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 e^{- 4 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x) + 2 (- 4 e^{- 4 - 2 x})}$

Étape 4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 4 e^{- 4 - 2 x})$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x - 4 e^{- 4 - 2 x})}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 2} \frac{2 (- x - 2 \sin (x + 2))}{2 (- x - 4 e^{- 4 - 2 x})}$

Étape 4.4.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 2} \frac{- x - 2 \sin (x + 2)}{- x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} - x - 2 \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 2 \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 lim_{x \to - 2} \sin (x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{lim_{x \to - 2} - x - 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 4 e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 12

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 lim_{x \to - 2} e^{- 4 - 2 x}}$

Étape 13

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x}}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x}}$

Étape 15

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x}}$

Étape 16

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - 2} x - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Étape 17

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 17.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (lim_{x \to - 2} x + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Étape 17.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{- lim_{x \to - 2} x - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Étape 17.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 lim_{x \to - 2} x}}$

Étape 17.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{2 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18

Simplifiez la réponse.

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Étape 18.1

Annulez le facteur commun à $2 - 2 \sin (- 2 + 2)$ et $2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}$ .

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Étape 18.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \sin (- 2 + 2)}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (- 2 + 2)$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- \sin (- 2 + 2))}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \sin (- 2 + 2))$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 18.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1) - 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1) + 2 (- 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

Étape 18.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})$ .

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

Étape 18.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 - \sin (- 2 + 2))}{2 (1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2})}$

Étape 18.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \sin (- 2 + 2)}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.2.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1 - \sin (0)}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 - 0}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1 - 2 e^{- 4 - 2 \cdot - 2}}$

Étape 18.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{1 - 2 e^{- 4 + 4}}$

Étape 18.3.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{1}{1 - 2 e^{0}}$

Étape 18.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{1 - 2 \cdot 1}$

Étape 18.3.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{1 - 2}$

Étape 18.3.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{- 1}$

Étape 18.4

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$