Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - x + 7}{\sqrt{9 x^{6} + 1}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3} = \sqrt{x^{6}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{6}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{\frac{9 x^{6}}{x^{6}} + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 2.2.2

Divisez $9$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 4

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{6}}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{6}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 + 0 + 7 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Étape 8.1.2

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{1 + 0 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Étape 8.1.3

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Étape 8.1.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

Étape 8.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 8.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$