Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Étape 4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$9 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 1 - x^{3}$ . Alors $d u = - 3 x^{2} d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 - x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{3}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Étape 5.1.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $0$ .

$- 3 x^{2}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$9 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Étape 6.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$9 \int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$9 (- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u)$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 9$ .

$\frac{- 9}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $3$ .

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.1.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 10.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 10.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 3 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 10.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 10.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- 3 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 10.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Réécrivez $- 3 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 3 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 12.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x^{3}$ .

$- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{9 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{3}}}$ .

$F (x) =$ $- 6 {(1 - x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$