Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (4 x + 5 y^{2}) = 5 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (4 x + 5 y^{2})) = \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x + 5 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x + 5 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x + 5 y^{2}$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) \frac{d}{d x} [4 x + 5 y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Étape 2.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Étape 2.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}])$

Étape 2.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ par $\cos (4 x + 5 y^{2})$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y') = 5$ par $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (4 x + 5 y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (4 x + 5 y^{2}) (4 + 10 y y')}{\cos (4 x + 5 y^{2})} = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $4 + 10 y y'$ par $1$ .

$4 + 10 y y' = \frac{5}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Séparez les fractions.

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$

Étape 5.1.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (4 x + 5 y^{2})}$ à $\sec (4 x + 5 y^{2})$ .

$4 + 10 y y' = \frac{5}{1} \sec (4 x + 5 y^{2})$

Étape 5.1.3.3

Divisez $5$ par $1$ .

$4 + 10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2})$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ par $10 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $10 y y' = 5 \sec (4 x + 5 y^{2}) - 4$ par $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sec (4 x + 5 y^{2})$ .

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{10 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 y$ .

$y' = \frac{5 (\sec (4 x + 5 y^{2}))}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{5 \sec (4 x + 5 y^{2})}{5 (2 y)} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 4}{10 y}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{10 y}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10 y$ .

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 (- 2)}{2 (5 y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (5 y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} + \frac{- 2}{5 y}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 x + 5 y^{2})}{2 y} - \frac{2}{5 y}$