Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 + \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x}{1} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x - (1 + \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x - 2 (1 + \ln (x)) x$ .

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Étape 4.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 (1 + \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (1 + \ln (x)) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 4.4.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- 2 (1 + \ln (x)))$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - 2 (1 + \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 2 (1 + \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 - 2 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{1 - 2 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \ln (x^{2})$ .

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Étape 6.3.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 6.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Étape 6.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $- 1 (1 + \ln (x^{2}))$ comme $- (1 + \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- (1 + \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$