Calcul infinitésimal Exemples

$(1 - x) y^{1} = y^{2}$

Étape 1

Simplifiez

$(1 - x) y = y^{2}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} ((1 - x) y) = \frac{d}{d y} (y^{2})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = 1 - x$ et $g (y) = y$ .

$(1 - x) \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 - x) \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Étape 3.2.2

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [1 - x]$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 3.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 - x + y (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 3.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$1 - x + y \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 3.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$1 - x + y (- \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$1 - x + y (- x')$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y x' - x + 1$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y x' - x + 1 = 2 y$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$- y x' + 1 = 2 y + x$

Étape 6.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y x' = 2 y + x - 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- y x' = 2 y + x - 1$ par $- y$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- y x' = 2 y + x - 1$ par $- y$ .

$\frac{- y x'}{- y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x'}{y} = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 y}{- y} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{2}{- 1} + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.3.1.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$x' = - 1 \cdot 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x' = - 2 + \frac{x}{- y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{- 1}{- y}$

Étape 6.2.3.1.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x' = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 2 - \frac{x}{y} + \frac{1}{y}$