Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - \sqrt{x}}$

Étape 1.2

Combinez les facteurs.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{6}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 3} - \sqrt{x}}$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{6}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{3}{1}} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 1.3.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{3} - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.5.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{\frac{3}{2}} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez l’exposant $\frac{3}{2}$ de $x^{\frac{3}{2}}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}} - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 2.1.3.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{\frac{3}{2}} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{\frac{3}{2}} - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 2.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{\frac{3}{2}} - \sqrt{1}}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Étape 2.1.3.5.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 2.1.3.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} - \sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.4.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{3}{2}} - \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.3.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.6.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.6.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.6.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}$

Étape 2.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 2.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.7.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Étape 2.3.7.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Étape 2.3.7.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 2.3.7.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 2.3.7.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.7.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Étape 2.3.7.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Étape 2.3.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 2.3.7.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 2.3.7.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.4.3

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Pour écrire $3 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.5.2

Associez $3 x^{2}$ et $\frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.5.4

Pour écrire $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.5.5

Multipliez $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 2.5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 x^{2} (2 \sqrt{x}) - 1}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} \cdot 2 \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 x^{2} \cdot 2 \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.5

Placez le terme $3 \cdot 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.10

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.11

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}}$

Étape 3.12

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

Étape 3.13

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

Étape 3.14

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

Étape 3.15

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

Étape 3.16

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

Étape 3.17

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

Étape 3.18

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}$

Étape 3.19

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}$

Étape 4.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{2}$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}{\frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}}$

Étape 5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1}$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$(3 \cdot 2 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.6

Élevez $\sqrt{1}$ à la puissance $1$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 ({\sqrt{1}}^{1} \sqrt{1}) - 1 \cdot 1}$

Étape 5.7

Élevez $\sqrt{1}$ à la puissance $1$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 ({\sqrt{1}}^{1} {\sqrt{1}}^{1}) - 1 \cdot 1}$

Étape 5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{1 + 1} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 5.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 {\sqrt{1}}^{2} - 1}$

Étape 5.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.11.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1}$

Étape 5.11.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.11.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{3 - 1}$

Étape 5.11.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$(6 \cdot 1^{2} \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

Étape 5.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.12.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(6 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

Étape 5.12.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$(6 \cdot \sqrt{1} - 1) \frac{1}{2}$

Étape 5.12.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$(6 \cdot 1 - 1) \frac{1}{2}$

Étape 5.12.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$(6 - 1) \frac{1}{2}$

Étape 5.13

Soustrayez $1$ de $6$ .

$5 (\frac{1}{2})$

Étape 5.14

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{2}$

Forme décimale :

$2.5$