Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{8} x + \frac{2}{9} - \frac{1}{6} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{8} x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{5}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{8} x$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{5}{8}$ par $1$ .

$\frac{5}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Étape 1.3

Comme $\frac{2}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{9}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{5}{8} + 0 - \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{5}{8} + 0 + 3 (\frac{1}{6}) x^{- 4}$

Étape 1.4.4

Associez $3$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6} x^{- 4}$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{3}{6}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 x^{- 4}}{6}$

Étape 1.4.6

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3}{6 x^{4}}$

Étape 1.4.7

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 1.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{6 x^{4}}$

Étape 1.4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x^{4}$ .

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 (1)}{3 (2 x^{4})}$

Étape 1.4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{3 \cdot 1}{3 (2 x^{4})}$

Étape 1.4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{8} + 0 + \frac{1}{2 x^{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $\frac{5}{8}$ et $0$ .

$\frac{5}{8} + \frac{1}{2 x^{4}}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2 x^{4}} + \frac{5}{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{4}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{1}{2} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.8

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.9

Associez $\frac{- 4}{2}$ et $x^{- 5}$ .

$\frac{- 4 x^{- 5}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.10

Placez $x^{- 5}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.11

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{5})} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{5}} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{8}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{5}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{8}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2}{x^{5}} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{2}{x^{5}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{5}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{5}}$ comme ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 5$ .

$- 2 (- 5 x^{- 6})$

Étape 3.4

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$10 x^{- 6}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{1}{x^{6}}$

Étape 3.5.2

Associez $10$ et $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{x^{6}}$