Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{\frac{1}{5}} + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{1}{5}} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{5}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{5}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$2 \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.9

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{2 x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.2.10

Placez $x^{- \frac{4}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{5}}]$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{5}}]$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{5}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 4 - 5}{5}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{\frac{- 9}{5}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{5} (- \frac{4}{5} x^{- \frac{9}{5}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{9}{5}}$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5})$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4}{5}$ .

$- \frac{2 (x^{- \frac{9}{5}} \cdot 4)}{5 \cdot 5}$

Étape 2.11

Multipliez.

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Étape 2.11.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{5 \cdot 5}$

Étape 2.11.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{8 x^{- \frac{9}{5}}}{25}$

Étape 2.11.3

Placez $x^{- \frac{9}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{25 x^{\frac{9}{5}}}$