Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{2 x + 2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{2}}{2 x + 2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{2 x + 2} d x$

Étape 4

Divisez $x^{2}$ par $2 x + 2$ .

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Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Étape 4.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 4.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 4.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Étape 4.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Étape 4.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{2}$
$2 x$	+	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Étape 4.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x + 2} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{2} d x + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 x + 2} d x$

Étape 9

Laissez $u = 2 x + 2$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = 2 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $2 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 2]$

Étape 9.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 9.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 9.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 9.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 9.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 9.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 9.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 9.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 10.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{2} x + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 2 |) + C$