Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} (1 + x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 + x$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [1 + x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x] + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 2.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} + (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + (1 + x) e^{x}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} + 1 e^{x} + x e^{x}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} + e^{x} + x e^{x}$

Étape 4.2.2

Additionnez $e^{x}$ et $e^{x}$ .

$2 e^{x} + x e^{x}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Étape 4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$