Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{\sqrt{2 x^{2} - x + 1}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 + \frac{- 1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{\sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Étape 7.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 - 0 + 0}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0 + 0}}$

Étape 7.2.2

Additionnez $2 + 0$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 + 0}}$

Étape 7.2.3

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 7.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 7.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 7.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$