Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\int \frac{x^{3}}{(x + 1) (x + 1)} d x$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x^{3}}{x (x + 1) + 1 (x + 1)} d x$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)} d x$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x \cdot x + 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{1} x^{1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{x^{3}}{x^{1 + 1} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1 x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 9.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1} d x$

Étape 9.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + x + x + 1} d x$

Étape 10

Additionnez $x$ et $x$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 11

Divisez $x^{3}$ par $x^{2} + 2 x + 1$ .

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Étape 11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 11.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 11.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 11.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$2 x^{2}$	-	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	-	$4 x$	-	$2$

Étape 11.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 4 x - 2$

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Étape 11.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Étape 11.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x - 2 + \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Étape 15

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 15.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 15.1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 15.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Étape 15.1.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 15.1.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 x + 2}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 15.1.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 15.1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 15.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 15.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 15.1.5

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 15.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 2) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 15.1.5.2

Divisez $3 x + 2$ par $1$ .

$3 x + 2 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 15.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.6.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 15.1.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 2 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 15.1.6.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 15.1.6.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

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Étape 15.1.6.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Étape 15.1.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.1.6.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 15.1.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x + 2 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 15.1.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x + 2 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Étape 15.1.6.2.2.4

Divisez $B (x + 1)$ par $1$ .

$3 x + 2 = A + B (x + 1)$

Étape 15.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 2 = A + B x + B \cdot 1$

Étape 15.1.6.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$3 x + 2 = A + B x + B$

Étape 15.1.7

Remettez dans l’ordre $A$ et $B x$ .

$3 x + 2 = B x + A + B$

Étape 15.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 15.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$3 = B$

Étape 15.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$2 = A + B$

Étape 15.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$3 = B$

$2 = A + B$

$3 = B$

$2 = A + B$

Étape 15.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 15.3.1

Réécrivez l’équation comme $B = 3$ .

$B = 3$

$2 = A + B$

Étape 15.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $3$ dans chaque équation.

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Étape 15.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $2 = A + B$ par $3$ .

$2 = A + 3$

$B = 3$

Étape 15.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 15.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

$2 = A + 3$

$B = 3$

Étape 15.3.3

Résolvez $A$ dans $2 = A + 3$ .

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Étape 15.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $A + 3 = 2$ .

$A + 3 = 2$

$B = 3$

Étape 15.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 15.3.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$A = 2 - 3$

$B = 3$

Étape 15.3.3.2.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

$A = - 1$

$B = 3$

Étape 15.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = - 1 B = 3$

Étape 15.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - 1, B = 3$

Étape 15.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1}$

Étape 15.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 16

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 18

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 18.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 18.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 18.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 18.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 18.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 18.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 18.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 19

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 19.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 19.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 19.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 19.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 20

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{3}{x + 1} d x$

Étape 21

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 22

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 22.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 22.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 22.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 22.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 22.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 22.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 22.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 23

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 3 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 24

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{u_{1}} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 25

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 25.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| u_{2} |) + C$

Étape 25.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 26

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{1}{x + 1} + 3 \ln (| x + 1 |) + C$