Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (- \frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (- \frac{x}{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{2}$ .

$- 2 (- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 (\sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

Étape 1.3.2

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (- \frac{x}{2}) (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (- \frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.3

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $\sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{- 2 \sin (- \frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (- \frac{x}{2})$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sin (- \frac{x}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sin (- \frac{x}{2})}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.4.2.4

Divisez $- \sin (- \frac{x}{2})$ par $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2}) \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \sin (- \frac{x}{2})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Comme $\sin (- \frac{x}{2})$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- \frac{x}{2})$ comme $- \sin (\frac{x}{2})$ .

$- - \sin (\frac{x}{2})$

Étape 1.4.2

Multipliez $- - \sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{2})$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $\sin (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{x}{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 2.2.4

Multipliez $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Étape 4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Étape 6

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Étape 8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π - 0)$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Étape 9

La solution de l’équation est $\frac{x}{2} = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{\cos (\frac{0}{2})}{2}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{\cos (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Étape 11.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 11.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 11.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (\frac{0}{1})}{2}$

Étape 11.1.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{\cos (0)}{2}$

Étape 11.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 12

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 13

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 13.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 2 \cos (- \frac{0}{2})$

Étape 13.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 13.2.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (0) = - 2 \cos (- 0)$

Étape 13.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

Étape 13.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Étape 13.2.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (0) = - 2$

Étape 13.2.5

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2 π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Étape 15.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{\cos (π)}{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{- \cos (0)}{2}$

Étape 15.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Étape 15.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 15.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 16

$x = 2 π$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2 π$ est un maximum local

Étape 17

Déterminez la valeur y quand $x = 2 π$ .

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Étape 17.1

Remplacez la variable $x$ par $2 π$ dans l’expression.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Étape 17.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 17.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 π) = - 2 \cos (- \frac{2 π}{2})$

Étape 17.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cos (- π)$

Étape 17.2.2

$f (2 π) = - 2 (- \cos (0))$

Étape 17.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (2 π) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.2.4

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (2 π) = - 2 \cdot - 1$

Étape 17.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (2 π) = 2$

Étape 17.2.5

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 18

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 2 \cos (- \frac{x}{2})$ .

$(0, - 2)$ est un minimum local

$(2 π, 2)$ est un maximum local

Étape 19