Calcul infinitésimal Exemples

$\int - e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Étape 1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{- 2 \csc (2 x)} \cot (2 x) \csc (2 x) d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Alors $d u_{2} = 4 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = - 2 \csc (2 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- 2 \csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \csc (2 x)]$

Étape 2.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \csc (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.4

Différenciez.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Étape 2.1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.4.5.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Étape 2.1.4.5.2

Réorganisez les facteurs de $4 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$4 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 3

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 6

Simplifiez

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 \csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{4} e^{- 2 \csc (2 x)} + C$