Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.8

Associez les fractions.

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Étape 4.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.8.3

Placez ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Étape 4.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 4.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 4.11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x)$

Étape 4.13.2

Associez $\frac{2}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.14

Simplifiez

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Étape 4.14.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.2

Multipliez $1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.14.3.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.3.2

Associez.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.14.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.5

Annulez le facteur commun de ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.14.5.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.14.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.6

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.14.7.1

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.14.7.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.14.7.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Étape 4.14.7.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.14.7.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(1 + x^{2})}^{1}}$

Étape 4.14.7.2

Simplifiez ${(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + 1 + x^{2}}$

Étape 4.14.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x}{x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}$