Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{x}$ at $(3, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Étape 1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$- \frac{3}{{(3)}^{2}}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun à $3$ et ${(3)}^{2}$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3 (1)}{{(3)}^{2}}$

Étape 1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{2}$ .

$- \frac{3 (1)}{3 \cdot 3}$

Étape 1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(3, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{3} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{3}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x}{3} - 1 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{3} + 1$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{3} + 1 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \frac{x}{3} + 2$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{3} x) + 2$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{3} x + 2$

Étape 3