Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2^{4 x}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{4 x}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $\frac{1}{2^{4 x}}$ comme ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2^{4 x})}^{- 1}]$

Étape 3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{4 x})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [2^{4 x \cdot - 1}]$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [2^{- 4 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = - 4 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 4 x$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) (- 4 \cdot 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2^{- 4 x} \ln (2) \cdot - 4$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $2^{- 4 x} \ln (2)$ .

$- 4 \cdot (2^{- 4 x} \ln (2))$

Étape 3.3.3.3

Factorisez le signe négatif.

$- (4 \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Étape 3.3.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- (2^{2} \cdot 2^{- 4 x}) \ln (2)$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2^{2 - 4 x} \ln (2)$