Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{3 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $9$ de ${(4 x + 1)}^{9}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(4 \cdot 0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(0 + 1)}^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{9} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(4 x + 1)}^{9} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(4 x + 1)}^{9} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{9}]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = 4 x + 1$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 u^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [4 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.7

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{9 {(4 x + 1)}^{8} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3.8

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $36 {(4 x + 1)}^{8}$ et $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{36 {(4 x + 1)}^{8}}{1}$

Étape 2.4

Divisez $36 {(4 x + 1)}^{8}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 36 {(4 x + 1)}^{8}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $36$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 lim_{x \to 0} {(4 x + 1)}^{8}$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $8$ de ${(4 x + 1)}^{8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + 1)}^{8}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

Étape 3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{8}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 lim_{x \to 0} x + 1)}^{8}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 36 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 (12)) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 12) {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$12 {(4 \cdot 0 + 1)}^{8}$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$12 {(0 + 1)}^{8}$

Étape 5.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$12 \cdot 1^{8}$

Étape 5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$12 \cdot 1$

Étape 5.5

Multipliez $12$ par $1$ .

$12$