Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}} d x$

Étape 4

Laissez $u = \ln (x) + 1$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = \ln (x) + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $\ln (x) + 1$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x) + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $\frac{1}{x}$ et $0$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 5.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x) + 1$ .

$2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln (x) + 1}}$ .

$F (x) =$ $2 {(\ln (x) + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$