Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{3 x^{5} + 2}{4 x^{2}} d x$

Étape 1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{3 x^{5} + 2}{x^{2}} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (3 x^{5} + 2) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (3 x^{5} + 2) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (3 x^{5} + 2) x^{- 2} d x$

Étape 3

Multipliez $(3 x^{5} + 2) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 x^{5} x^{- 2} + 2 x^{- 2} d x$

Étape 4

Multipliez $x^{5}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 (x^{- 2} x^{5}) + 2 x^{- 2} d x$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int 3 x^{- 2 + 5} + 2 x^{- 2} d x$

Étape 4.3

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$\frac{1}{4} \int 3 x^{3} + 2 x^{- 2} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int 3 x^{3} d x + \int 2 x^{- 2} d x)$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (3 \int x^{3} d x + \int 2 x^{- 2} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 x^{- 2} d x)$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 \int x^{- 2} d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 2 (- x^{- 1} + C))$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} (\frac{3 x^{4}}{4} - \frac{2}{x}) + C$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} (\frac{3}{4} x^{4} - \frac{2}{x}) + C$