Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{2 p x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 p x}$ comme ${(2 p x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 p x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (p x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (p x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(p x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = p x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $p x$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {(p x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{{(p x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 9

Placez ${(p x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x])$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 11

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 {(p x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 12

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Déplacez $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 12.2

Multipliez $2^{- \frac{1}{2}}$ par $2$ .

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Étape 12.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 12.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 12.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [p x]$

Étape 13

Comme $p$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $p x$ par rapport à $x$ est $p \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} (p \frac{d}{d x} [x])$

Étape 14

Associez $p$ et $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 16

Multipliez $\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} {(p x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Appliquez la règle de produit à $p x$ .

$\frac{p}{2^{\frac{1}{2}} (p^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.2

Associez des termes.

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Étape 17.2.1

Placez $p^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{p \cdot p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2

Multipliez $p$ par $p^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 17.2.2.1

Multipliez $p$ par $p^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.2.2.1.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{p^{1} p^{- \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{p^{1 - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{p^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p^{\frac{2 - 1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{p^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$