Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{(4 x + 2)}{5 x}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x + 2}{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{4 x + 2}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x + 2$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [4 x + 2] - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + \frac{d}{d x} [2]) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (4 + 0) - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \cdot 4 - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot x - (4 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{4 x - (4 x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 x - (4 x + 2)}{5 x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x - (4 x) - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 x - 4 x - 1 \cdot 2}{5 x^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 x - 4 x - 2}{5 x^{2}}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{0 - 2}{5 x^{2}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{- 2}{5 x^{2}}$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{5 x^{2}}$