Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - (1 + \ln (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - (1 + \ln (x))}{x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $\ln (x)$ de $0$ .

$\frac{- \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\ln (x)}{x^{2}}$