Calcul infinitésimal Exemples

$F (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 12 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 6 x - 9$ et $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 6 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$F'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$F'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$F'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$F'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$F'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$F'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$F'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$F'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 6$ et $0$ .

$F'' (x) = 6 x + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 + \frac{d}{d x} [- 12 y]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 12 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 6 x - 9$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 4.2

La dérivée première de $F (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x - 9$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 6 x - 9$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 9 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 9 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 3$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (1) + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + 6$

Étape 9.2

Additionnez $6$ et $6$ .

$12$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$F (1) = {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 - 12 y$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$F (1) = 1 + 3 {(1)}^{2} - 9 \cdot 1 - 12 y$

Étape 11.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$F (1) = 1 + 3 \cdot 1 - 9 \cdot 1 - 12 y$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$F (1) = 1 + 3 - 9 \cdot 1 - 12 y$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$F (1) = 1 + 3 - 9 - 12 y$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$F (1) = 4 - 9 - 12 y$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$F (1) = - 5 - 12 y$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 5 - 12 y$ .

$y = - 5 - 12 y$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 3) + 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$- 18 + 6$

Étape 13.2

Additionnez $- 18$ et $6$ .

$- 12$

Étape 14

$x = - 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 3$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$F (- 3) = {(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 12 y$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$F (- 3) = - 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 - 12 y$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$F (- 3) = - 27 + 3 \cdot 9 - 9 \cdot - 3 - 12 y$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$F (- 3) = - 27 + 27 - 9 \cdot - 3 - 12 y$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $- 3$ .

$F (- 3) = - 27 + 27 + 27 - 12 y$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$F (- 3) = 0 + 27 - 12 y$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $0$ et $27$ .

$F (- 3) = 27 - 12 y$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $27 - 12 y$ .

$y = 27 - 12 y$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $F (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 12 y$ .

$(1, - 5 - 12 y)$ est un minimum local

$(- 3, 27 - 12 y)$ est un maximum local

Étape 17