Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x^{5} - 7$ . Alors $d u = 10 x^{4} d x$ , donc $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 2 x^{5} - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $2 x^{5} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{5} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{5}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$10 x^{4} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $10 x^{4}$ et $0$ .

$10 x^{4}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 - 7$

Étape 1.3.2

Soustrayez $7$ de $0$ .

$u_{lower} = - 7$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 2 - 7$

Étape 1.5.2

Soustrayez $7$ de $2$ .

$u_{upper} = - 5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

Étape 2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{10}$ .

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

Étape 5

Évaluez $e^{u}$ sur $- 5$ et sur $- 7$ .

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{10} \cdot (e^{- 5} - e^{- 7})$

Forme décimale :

$0.00058260 \dots$