Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (\frac{π}{2} - \frac{t}{10})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \arctan (t)$ et $g (t) = \frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{π}{2} - \frac{t}{10}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{π}{2} - \frac{t}{10}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (\frac{d}{d t} [\frac{π}{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Étape 2.2

Comme $\frac{π}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π}{2}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}]$

Étape 2.4

Comme $- \frac{1}{10}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{10}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.5

Associez les fractions.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$ par $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}) \cdot 10} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.5.2

Déplacez $10$ à gauche de $1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}$ .

$- \frac{1}{10 \cdot (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})} \cdot 1$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{10 (1 + {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{10 \cdot 1 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $10$ par $1$ .

$- \frac{1}{10 + 10 {(\frac{π}{2} - \frac{t}{10})}^{2}}$