Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - 3 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Étape 1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = \csc (x)$ . Alors $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , donc $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \csc (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Étape 2.1.3

Réorganisez les facteurs de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{4})$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - 1 u d u$

Étape 3

Réécrivez $- 1 u$ comme $- u$ .

$- 3 \int_{\sqrt{2}}^{1} - u d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (- \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 \int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{\sqrt{2}}^{1})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{u^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $\sqrt{2}$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2})$

Étape 8.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2})$

Étape 8.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2})$

Étape 8.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Étape 8.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2})$

Étape 8.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{2})$

Étape 8.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2}{2})$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1)$

Étape 8.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 8.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Étape 8.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 8.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 \frac{1 - 2}{2}$

Étape 8.2.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (\frac{- 1}{2})$

Étape 8.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{2})$

Étape 8.2.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Étape 8.2.11

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Étape 8.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$- 1.5$

Forme de nombre mixte :

$- 1 \frac{1}{2}$