Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} - 6 x}$ comme ${(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 4.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 6 x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 6 x$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3} {(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.7.2

Associez ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.7.3

Placez ${(x^{2} - 6 x)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Étape 4.10

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6 \cdot 1)$

Étape 4.12

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$

Étape 4.13

Simplifiez

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Étape 4.13.1

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}} (2 x - 6)$ .

$- (2 x - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.4

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$(- 2 x + 6) \frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.5

Multipliez $- 2 x + 6$ par $\frac{1}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 2 x + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.6

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 6$ .

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Étape 4.13.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 6}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.6.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (3)$ .

$\frac{2 (- x + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.8

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 (- (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.10

Réécrivez $- (x - 3)$ comme $- 1 (x - 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 3))}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (x - 3)}{3 {(x^{2} - 6 x)}^{\frac{4}{3}}}$