Calcul infinitésimal Exemples

$x \cdot \sin (2 x)$

Étape 1

Écrivez $x \cdot \sin (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = x \cdot \sin (2 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \cdot \sin (2 x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 5

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Étape 5.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 5.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 6

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Étape 8

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 9

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 11

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Étape 11.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Étape 12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Étape 13

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Étape 13.1

Réécrivez $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ comme $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 13.2

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Étape 13.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 13.2.2

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \cdot \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$