Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 3}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{4 x}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 2.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 4.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 \cdot 0 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 4 \cdot 0}{1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Étape 8.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 + 3 \cdot 0}$

Étape 8.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{1}{1 + 0 + 0}$

Étape 8.2.3

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Étape 8.2.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 8.3

Divisez $1$ par $1$ .

$1$