Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez

{(2 + x)}^{\frac{1}{x}}

${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ comme

e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}

$e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez

\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})

$\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Étape 2

Associez

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ et

\ln (2 + x)

$\ln (2 + x)$ .

lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction

e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}

$e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ par la gauche.

\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs

x

$x$ approchent de

0

$0$ , les valeurs de la fonction approchent de

0

$0$ . Ainsi, la limite de

e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}

$e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ depuis le côté gauche est

0

$0$ .

0

$0$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Étape 7

Comme les valeurs

x

$x$ approchent de

0

$0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

\infty

$\infty$

Étape 8

Comme les limites côté gauche et côté droit ne sont pas égales, la limite n’existe pas.

N’existe pas

$N’existe pas$