Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(2 + x)}^{\frac{1}{x}}$ comme $e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(2 + x)}^{\frac{1}{x}})$ en déplaçant $\frac{1}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (2 + x)}$

Étape 2

Associez $\frac{1}{x}$ et $\ln (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}} \\ - 0.1 & 0.00163103 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & 0 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0$ . Ainsi, la limite de $e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0$ .

$0$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{\ln (2 + x)}{x}}$

Étape 7

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\infty$

Étape 8

Comme les limites côté gauche et côté droit ne sont pas égales, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$