Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x^{2} + x$

Étape 1

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 2

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{1}{2 (7)}$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = - \frac{1}{14}$

Étape 3

Évaluez $f (- \frac{1}{14})$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{14}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 {(- \frac{1}{14})}^{2} - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{14})}^{2}) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{14}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (1 (\frac{1^{2}}{14^{2}})) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{14^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1^{2}}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{14^{2}}) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.5

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{196}) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.2.2.6.1

Factorisez $7$ à partir de $196$ .

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 (28)}) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{1}{14}) = 7 (\frac{1}{7 \cdot 28}) - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- \frac{1}{14}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{1}{14} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $28$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{14}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{14 \cdot 2}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $14$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1}{28} - \frac{2}{28}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{1 - 2}{28}$

Étape 3.2.6

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{14}) = \frac{- 1}{28}$

Étape 3.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{14}) = - \frac{1}{28}$

Étape 3.2.8

La réponse finale est $- \frac{1}{28}$ .

$- \frac{1}{28}$

Étape 4

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- \frac{1}{14}, - \frac{1}{28})$

Étape 5