Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{5} + 3 x^{4} - 31 x}{8 x^{4} - 31 x^{2} + 12}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{5}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $2 x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (2 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{1} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.4

Divisez $2 x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2

Divisez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{- 31 x}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 31 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x^{4}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x \cdot x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{x \cdot - 31}{x \cdot x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{- 31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{\frac{8 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{- 31 x^{2}}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 31 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{4}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{2} x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{x^{2} \cdot - 31}{x^{2} x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 + \frac{- 31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - \frac{31}{x^{3}}}{8 - \frac{31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{31}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - \frac{31}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 4

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{31}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + \frac{12}{x^{4}}}$

Étape 5

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{12}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + 0}$

Étape 6

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction $\frac{2 x + 3 - 0}{8 - 0 + 0}$ approche de l’infini.

$\infty$