Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{3} - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.8

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.2.9

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ et $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 u \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3}{1} \cdot ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 ((x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2))$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Étape 2.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) (1 + 0)$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2) \cdot 1$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = 3 (x - 2)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 3 x + 3 \cdot - 2$

Étape 2.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 3 x - 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (3 {(x - 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.8

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(x - 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.2.9

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.1.2.1.2

Divisez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 5.3.2

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.3.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$3 (2) - 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 - 6$

Étape 9.2

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 2)$ dans la dérivée première $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{3 {((0) - 2)}^{2}}{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.1.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{3 {(- 2)}^{2}}{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (0) = \frac{12}{2}$

Étape 10.2.2.2.2

Divisez $12$ par $2$ .

$f' (0) = 6$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{3 {((4) - 2)}^{2}}{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.2.1.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = \frac{3 \cdot 4}{2}$

Étape 10.3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.2.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{12}{2}$

Étape 10.3.2.2.2

Divisez $12$ par $2$ .

$f' (4) = 6$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 10.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 2$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{3} - 4$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11