Calcul infinitésimal Exemples

${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Étape 1

Écrivez ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int {(\sin (x) - \cos (x))}^{2} d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez ${(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ comme $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Étape 4.2

Développez $(\sin (x) - \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) (\sin (x) - \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) d x$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Étape 4.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Étape 4.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Étape 4.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) (- \cos (x)) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 4.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.3.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.3.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Étape 4.3.1.3.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Étape 4.3.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Étape 4.3.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Étape 4.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Étape 4.3.3

Soustrayez $\cos (x) \sin (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Étape 4.4

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 4.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int 1 - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Étape 8

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - 2 \int - u d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - 2 (- \int u d u)$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x + C + 2 \int u d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$x + C + 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$x + 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Étape 12.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x + \frac{2}{2} u^{2} + C$

Étape 12.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x + 1 u^{2} + C$

Étape 12.2.3

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$x + u^{2} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$x + \cos^{2} (x) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = {(\sin (x) - \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x + \cos^{2} (x) + C$