Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1}{x - 1}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Étape 1.2

Associez $- 1$ et $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{- \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{x - 1}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} \sqrt{x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1 - \sqrt{lim_{x \to 1} x}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x - 1)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 3.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 3.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.6.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.6.2

Multipliez $1 - 1 \cdot 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 3.1.3.6.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 3.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.4.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} (x - 1)]}$

Étape 3.3.6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 1)]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.3.12

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 3.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Étape 3.3.14

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Étape 3.3.15

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 3.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 3.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.17.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Étape 3.3.17.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Étape 3.3.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Étape 3.3.19

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 3.3.20

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21

Simplifiez

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Étape 3.3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2

Associez des termes.

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Étape 3.3.21.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.21.2.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.3.21.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.4

Réécrivez $- 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ comme $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.5

Pour écrire $x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.6

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.3.21.2.9

Additionnez $2 x^{\frac{1}{2}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.5.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}$ par $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Étape 3.7

Associez des termes.

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Étape 3.7.1

Pour écrire $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Étape 3.7.2

Multipliez $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{(\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}) (2 \sqrt{x})}$

Étape 3.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (2 \sqrt{x})}$

Étape 4.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} (\sqrt{x})}$

Étape 4.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.6

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 3 \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.11

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.12

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.14

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Étape 4.15

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \sqrt{1} \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6.1.6

Soustrayez $1$ de $3$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \sqrt{1}}$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} \sqrt{1}}$

Étape 6.3.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $\sqrt{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \sqrt{1}}{2}}$

Étape 6.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2}}$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Étape 6.6

Divisez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 6.7.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 6.7.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 6.8

Multipliez $- \frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$