Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{\cot (3 z)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = e^{z}$ et $g (z) = \cot (3 z)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (3 z)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [\cot (3 z)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [\cot (3 z)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (3 z)$ .

$e^{\cot (3 z)} \frac{d}{d z} [\cot (3 z)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = \cot (z)$ et $g (z) = 3 z$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 z$ .

$e^{\cot (3 z)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d z} [3 z])$

Étape 2.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$e^{\cot (3 z)} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d z} [3 z])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 z$ .

$e^{\cot (3 z)} (- \csc^{2} (3 z) \frac{d}{d z} [3 z])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $3 z$ par rapport à $z$ est $3 \frac{d}{d z} [z]$ .

$e^{\cot (3 z)} (- \csc^{2} (3 z) (3 \frac{d}{d z} [z]))$

Étape 3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z) \frac{d}{d z} [z])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z) \cdot 1)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z))$

Étape 3.4.2

Réorganisez les facteurs de $e^{\cot (3 z)} (- 3 \csc^{2} (3 z))$ .

$- 3 e^{\cot (3 z)} \csc^{2} (3 z)$